Matemática I

Inicio esta sesión  compartiendo una historia  que te ayudará a reflexionar  y a  mejorar tu calidad de vida.

        ¡Éxitos!

La historia del lápiz

El niño miraba al abuelo escribir una carta. En un momento dado, le preguntó: 

–¿Estás escribiendo una historia que nos pasó a los dos? ¿Es, quizá, una historia sobre mí? 

El abuelo dejó de escribir, sonrió y dijo al nieto: 

–Estoy escribiendo sobre ti, es cierto. Sin embargo, más importante que las palabras es el lápiz que estoy usando. Me gustaría que tú fueses como él cuando crezcas. 

El niño miró el lápiz, intrigado, y no vio nada de especial. 

–¡Pero si es igual a todos los lápices que he visto en mi vida! 

–Todo depende del modo en que mires las cosas. 

Hay en él cinco cualidades que, si consigues mantenerlas, harán de ti una persona por siempre en paz con el mundo.

Primera cualidad: puedes hacer grandes cosas, pero no olvides nunca que existe una mano que guía tus pasos. A esta mano nosotros la llamamos Dios, y Él siempre te conducirá en dirección a su voluntad. 

Segunda cualidad: de vez en cuando necesito dejar de escribir y usar el sacapuntas. Eso hace que el lápiz sufra un poco, pero al final está más afilado. Por lo tanto, debes ser capaz de soportar algunos dolores, porque te harán mejor persona. 

Tercera cualidad: el lápiz siempre permite que usemos una goma para borrar aquello que está mal. Entiende que corregir algo que hemos hecho no es necesariamente algo malo, sino algo importante para mantenernos en el camino de la justicia. 

Cuarta cualidad: lo que realmente importa en el lápiz no es la madera ni su forma exterior, sino el grafito que hay dentro. Por lo tanto, cuida siempre de lo que sucede en tu interior. 
Finalmente, la quinta cualidad del lápiz: siempre deja una marca. De la misma manera, has de saber que todo lo que hagas en la vida dejará trazos e intenta se consciente de cada acción.

Tema N° 1

NÚMEROS ENTEROS

1. CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS (Z)

• Los números enteros no tienen parte decimal.
• Los números enteros están formados por  los números positivos, los números negativos y el cero. el número cero no es ni positivo ni negativo.

Luego los números enteros están formados por los los subconjuntos: enteros positivos, el cero y los  enteros negativos.

" Enseñen a los niños a ser preguntones, para que pidiendo el porqué de lo que se les mande hacer, se acostumbren a obedecer a la razón, no a la autoridad como los limitados, no a la costumbre como los estúpidos".

Simón Rodriguez

Tema N° 2

OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS

Recuerda

Regla de los signos para la adición

    1. Si los números tienen el mismo signo , se suman los valores absolutos y al resultado se le coloca         el     signo común. 

        Ejemplo:

                         4 +  8 = 12

                    -7 + -6 = -13        ó       -7 - 6 = -13

   2.  Si los números son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el

        menor) y al resultado se le coloca el signo del número con  mayor valor absoluto.

        Ejemplo:

                       - 9 + 5 = - 4

                     6 + - 4 = 2           ó        6 - 4 = 2

Para practicar:

Adición y sustracción de números enteros ( Z )

http://www.vitutor.com/di/n/a_9e.html

El árbol de los problemas      

Lo más importante en esta vida es darnos una pausa ante los problemas, no para que crezcan, sino para resolverlos con mayor tranquilidad.

El carpintero que había contratado para ayudarme a reparar una vieja granja, acababa de finalizar un duro primer día de trabajo. Su cortadora eléctrica se daño y lo hizo perder una hora de trabajo y ahora su antiguo camión se niega a arrancar.

Mientras lo llevaba a casa, se sentó en silencio. Una vez que llegamos, me invito a conocer a su familia. Mientras nos dirigíamos a la puerta, se detuvo un momento frente a un pequeño árbol, tocando las puntas de las ramas con ambas manos.

Cuando se abrió la puerta, ocurrió una sorprendente transformación. Su bronceada cara estaba plena de sonrisas. Abrazo a sus dos pequeños hijos y le dio un beso a su esposa.

Posteriormente me acompañó hasta el carro. Cuando pasamos cerca del árbol, sentí curiosidad y le pregunte acerca de lo que lo había visto hacer un rato antes.

"Oh, ese es mi árbol de problemas", contestó.

"Se que yo no puedo evitar tener problemas en el trabajo, pero una cosa es segura: los problemas no pertenecen a la casa, ni a mi esposa, ni a mis hijos. Así que simplemente los cuelgo en el árbol cada noche cuando llego a casa. Luego en la mañana los recojo otra vez".

"Lo divertido es", dijo sonriendo, "que cuando salgo en la mañana a recogerlos, no hay tantos como los que recuerdo haber colgado la noche anterior".

NÚMEROS REALES

INTERVALOS

Taller de Ejercicios

   A.   Expresa en forma conjuntista,  como intervalo, y represéntalo en la recta numérica:

1.       x es menor que –5.

2.       3 es menor o igual que x.

3.       x está comprendido entre –5 y 1.

4.       x está entre –2 y 0, ambos incluidos.

5.       x está comprendido desde -1 hasta menos de 7

  B.  Representa gráficamente y expresa como intervalos estas desigualdades:

6.       –3 ≤ x ≤ 2

7.       5 < x

8.       x ≥ –2

9.       –2 ≤ x < 3/2

10.    4 < x < 4,1

11.    -2 ≤ x ≤ 7

12.    x ≥ 13

13.    x < 0

14.    -3 < x ≤ 0

15.    3 ≤ x <  6

Productos notables

•  Se llama producto al resultado de una multiplicación.
•  Los valores que se multiplican se llaman factores.       

Observa:

 PRODUCTOS NOTABLES

Se llaman productos notables o productos especiales a algunos productos utilizados con frecuencia, cuyos resultados  se pueden obtener  de manera directa sin efectuar completamente la multiplicación.

Algunos productos notables son:

       CUADRADO DE UN BINOMIO

                1.1 Cuadrado de la suma de un binomio

El cuadrado de la suma de un binomio  es igual al cuadrado del  primer término, más el doble producto  del primer término  por  el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

Demostración:

Así:
 

1.2 Cuadrado de la diferencia de un binomio

El cuadrado de la diferencia de un binomio  es igual al cuadrado del  primer término, menos el doble producto  del primer término  por  el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

Demostración:

 (a - b) ² =  (a – b)(a – b)

 (a - b) ² =   a² – ab – ab + b²

 (a - b) ² =  a² - 2ab + b<sup>2

Así:</sup> 

                     

                   CUBO DE UN BINOMIO

2.1  Cubo de la suma de un binomio

El cubo de la suma de un binomio es igual  al cubo del primer término, más el triple producto  del cuadrado del primer término  por el segundo término, más el triple del primer término  por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término.

Demostración:

(a + b)³  =  (a + b) ² (a + b)

(a + b)³ =  ( a² + 2ab + b² )(a + b)

(a + b)³ =  ( a² + 2ab + b² )(a) +  ( a² + 2ab + b² )(b)

(a + b)³ =  ( a³ + 2a²b + ab² ) +  ( a² b + 2ab² + b³ )

(a + b)³ =   a³ + 2a²b + ab²  +   a² b + 2ab² + b³

(a + b)³ =   a³ + 3a²b + 3ab²   + b³

Así:

2.2  Cubo de la diferencia de un binomio

El cubo de la suma de un binomio es igual  al cubo del primer término, más el triple producto  del cuadrado del primer término  por el segundo término, más el triple del primer término  por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término.

Demostración:

                    ( a - b)³  =  (a - b) ² (a - b)

                    (a - b)³ =  ( a² - 2ab + b² )(a - b)

                    (a - b)³ =  ( a² - 2ab + b² )(a) -  ( a² - 2ab + b² )(b)

                    (a - b)³ =  ( a³ - 2a²b + ab² ) -  ( a² b - 2ab² + b³ )

                    (a - b)³ =   a³ - 2a²b + ab²  -   a² b + 2ab² - b³

                    (a - b)³ =   a³ -  3a²b + 3ab²  -  b³

                    Así:

 Tema N° 3

Calculando calorías

 Tabla que muestra  la cantidad de calorías que contiene algunos alimentos para consumir un desayuno saludable.

Tabla N° 1

Alimento	Cantidad	Calorías (kcal)
Plátano	1 unidad	105
Manzana	1 unidad	72
Papaya	1 porción de 120 g	47
Piña	1 porción de 100 g	48
Sandía	1 tajada de 150 g	45
Palta	1 porción de 100 g	160
Pan	1 unidad	78
Tostada	1 unidad	61
Galleta	1 unidad	24
Mantequilla	1 trocito de 5 g	36
Mermelada	1 cucharada	55
Queso	1 tajada de 30 g	37
Jamonada	1 tajada de 10 g	31
Huevo frito	1 unidad	89
Leche	1 vaso de 240 ml	146
Té	1 taza de 240 ml	2
Jugo de fruta	1 vaso de 240 ml	112
Yogurt de fruta	1 vaso de 240 ml	121

COMO CALCULAR EL CONSUMO DE CALORÍAS CON LA  ECUACIÓN DE HARRIS-BENEDICT

Metabolismo basal – Cada persona tiene uno diferente

Las famosas ecuaciones de Harris-Benedict para determinar la Tasa de  metabolismo basal (TMB) y de consumo necesario, son solamente orientativas. Sin embargo, es sin duda alguna el método más usado a nivel mundial para calcular el Consumo de Calorías Diarias (CCD). A diferencia del método rápido, las ecuaciones de Harris Benedict  toman en consideración más factores a la hora de conseguir los resultados del  cálculo del  consumo de calorías.

Para obtener el gasto de calorías totales (según cada individuo) serán multiplicadas por el Factor de Actividad.

Ecuaciones Harris-Benedict

Las ecuaciones Harris-Benedict son las siguientes:

TMB Mujer = 655 + (9,6 * P) + (1,8 * A) – (4,7 * E)

TMB Hombre = 66 + (13,7 * P) + (5 * A) – (6,8 * E)

Ecuaciones de Harris-Benedict – Nomenclatura

P: Peso en Kilogramos

A: Altura en centímetros

E: Edad en años

Una vez obtenida la TMB, se multiplica el Factor de Actividad:

Sedentario: CCD = TMB * 1,2 (trabajo de escritorio – sin ejercicio)

Actividad Ligera: CCD = TMB * 1,375 (ejercicio 1-3 días por semana)

Actividad Moderada: CCD = TMB * 1,55 (ejercicio 3-5 días por semana)

Actividad Intensa: CCD = TMB * 1,725 (ejercicio 6-7 días por semana)

Actividad Muy Intensa: CCD = TMB * 1,9 (ejercicio 2 veces al día, ejercicios de mucha fuerza y agotamiento, deportistas profesionales)

Ecuaciones de Harris-Benedict – Ejemplo práctico

Una mujer, de 25 Años de edad, que mide 1,62 Metros y pesa 69 Kilogramos, la ecuación, queda de la siguiente manera:  

P: 69Kg

A: 162 cm

E: 25 años

TMB Mujer = 655 + (9,6 * 69) + (1,8 * 162) – (4,7 * 25)

TMB Mujer = 1492 Kcal

Una vez obtenida la tasa de metabolismo basal (TMB) el resultado se multiplica por el Factor de Actividad. Vamos a suponer que la mujer del ejemplo, tiene un trabajo de oficina y 3 veces a la semana va al gimnasio. Su factor de actividad, sería de 1,375:

CCD = 1492 * 1,375

CCD = 2052 Kcal

El resultado final, es que esta mujer, necesita al día consumir 2052 Kcal. Es la base para iniciar una dieta, dependiendo de los objetivos que se persigan (adelgazar, aumentar de peso, o mantenerse).

Ecuaciones de Harris-Benedict – A tener en cuenta

Las ecuaciones de Harris-Benedict, calculan el metabolismo basal y lo estimado de consumo en actividad cotidiana. Son indicadores idóneos pues lo que nos indicaría es que no deberíamos hacer una dieta por debajo de esa cantidad de calorías, ya que si no estaríamos forzando al cuerpo a adaptarse y a guardar para “cuándo no haya”, o efecto rebote.

Harris Benedict propone dos ecuaciones puesto que toma en cuenta que el hombre tiene mayor masa magra en su cuerpo que las mujeres. Estas medidas pueden ser muy imprecisas para personas muy obesas, o personas con mucha masa muscular. Otra cosa interesante a tener en cuenta, es que el factor de Actividad también es muy impreciso. Si usted realiza 1, o 3 horas de ejercicios, 1 o 4 veces a la semana no está contemplado en detalle.

En cualquier caso, son mediciones válidas y en uso.